MAKALAH FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
Disususn
untuk Memenuhi Tugas UAS Ganjil
Pelajaran
MATEMATIKA Kelas XI
Guru
Mata Pelajaran:
SUBIANTO
Disusun oleh:
Nama :
BAGUS SABIQUL AMIN
Nomor UTS :
025
SMK
DARUL JANNAH AL-MA’WA
YAYASAN
PONPES DARUL JANNAH AL-MA’WA
TUNGGUL
PACIRAN LAMONGAN
2014
MAKALAH
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
Disususn
untuk Memenuhi Tugas UAS Ganjil
Pelajaran
MATEMATIKA Kelas XI
Guru
Mata Pelajaran:
SUBIANTO
Disusun oleh:
Nama :
BAGUS SABIQUL AMIN
Nomor UTS :
025
YAYASAN
PONPES DARUL JANNAH AL-MA’WA
SMK
DARUL JANNAH AL-MA’WA
TUNGGUL
PACIRAN LAMONGAN
2014
Kata
Pengantar
Assalamu’alaikum warohmatuallahi wabarokatuh
Segala puji hanyalah milik Allah
SWT, Dzat yang telah menjadikan sebab untuk segala perkara, yang mengandung
segala hikmah dan keterangan kepada hamba-Nya. Yang mengutus Muhammad sebagai
rasul-Nya untuk membawa agama yang haq.
Saya menyadari bahwa penulisan dan
pembuatan makalah ini tak lepas dari
peran dahsyat orang-orang yang membantu dalam proses pembuatannya, ucapan
terima kasih penulis sampaikan kepada:
1. Bapak subianto selaku guru matematika SMK
Darul Jannah Al-Ma’wa
2. Bapak K. Hasan Arif selaku Pengasuh
Pondok Pesantren Darul Jannah Al-Ma’wa
Saya
juga membuat makalah ini untuk mengerjakan ujian akhir semester (UAS) ganjil
dan saya akan mengerjakan dengan semampu saya,apabila ada kata-kata yang tidak
pas di hati bapak guru yang mengajar matematika saya mohon maaf
sebesar-besarnya.
Summa’salam
muala’ikummusalam
Tanggal,00
Desember 2014
BAGUS SABIQUL.A
DAFTAR ISI
H
alaman Cover
Halaman Judul
Kata Pengantar
Daftar Isi
BAB
I PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Penulisan
B.
Rumusan Masalah
C.
Tujuan Penulisan
D.
Sistematika Penulisan
BAB II PEMBAHASAN
A.
Operasi Aljabar Pada Fungsi
B.
Menemukan Konsep Fungsi Komposisi
C.
Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi.
.. Uji
Kompetensi 3.1
D.
Fungsi Invers
E.
Menentukan Rumus Fungsi Invers
Uji
Kompetensi 3.2
BAB III PENUTUP
A.
Kesimpulan
B.
Kesan
C.
Pesan
Daftar
Riwayat Hidup Penulis
BAB I PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Penulisan
Standar
Pemeriksaan Keuangan Negara yang digunakan oleh BPK adalahadopsi dari Standar
Profesional Akuntan Publik (SPAP) dan Generally Accepted Auditing Standard (GAAS). Sebagai Konsekuensinya, aturan
aturan, pedomanteknis, dan pedoman pelaksanaan yang disahkan SPAP dan GAAS
seharusnyadiikuti oleh BPK. Namun, yang terjadi tidak seperti itu. Masih ada
beberapa hal yang terkesan “diabaikan” oleh BPK. Padahal hal tersebut
sangat esensial dalam melakukan
pemeriksaan, seperti konsep dasar mengenai perencanaan danpelaksanaan
pemeriksaan keuangan. Hal ini menjadi sangat krusial
karena ituartinya BPK tidak benar-benar menjadikan keduanya
sebagai referensi.Namun, GAAS dan SPAP tidak lebih dari standar. Dalam
praktiknya, tentuauditor menggunakan
Professional Judgement saat
menyelesaikan auditnya. Hal inimemungkinkan auditor berimprovisasi
dengan kreativitas masing-masing. Walaubegitu,
tak semua pekerjaan auditor ini dapat dilakukan dengan mudah. Olehkarenanya,
Best Practice yang biasa dipraktikkan auditor bisa dijadikan salah satupertimbangan dalam menyelesaikan audit.Perbedaan
Best Practice menurut Arens dengan matriks pemeriksaan BPKRI inilah yang
kemudian kami cermati. Baik dari segi langkah, penggunaan bahasa,ataupun konsep dasar pemeriksaan. Alasannya,
perbedaan yang ada dapatmempengaruhi kualitas pemeriksaan keuangan yang
dilakukan BPK RI.
B. Rumusan
Masalah
1.
Apakah Best Practice Arens benar-benar
dijadikan referensi oleh BPK dalammenyusun matriks pemeriksaan
keuangan negara?
2.
Adakah langkah pemeriksaan yang tidak tepat yang dimasukkan ke matriksyang disusun BPK?
C. Tujuan
Penulisan
BPK RI menyusun SPKN berdasarkan
GAAS dan SPAP.
Oleh karena itu,seharusnya BPK menerapkan pernyataan GAAS dan SPKN terkait pemeriksaansecara konsisten. Walaupun
sektor komersial dan sektor pemerintahan adalah duasisi yang berbeda, namun
secara konsep tetap bisa dicari jalan tengah. Tulisan inidibuat untuk membuktikan
konsistensi BPK terkait pelaksanaan pemeriksaan yangterdapat
pada GAAS dan SPKN.Konsistensi
yang dimaksud disini bukan berarti bahwa semua hal yang diaturdalam GAAS dan SPKN harus
pula diikuti seluruhnya oleh BPK. Namun, ini lebihkepada
pemahaman konseptual dan cara BPK merumuskannya menjadi langkahpemeriksaan.
D.
Sistematika
Penulisan
H alaman Cover
Halaman Judul
Kata Pengantar
Daftar Isi
BAB I PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang Penulisan
B.
Rumusan
Masalah
C.
Tujuan
Penulisan
D.
Sistematika
Penulisan
BAB II PEMBAHASAN
A.
Operasi
Aljabar Pada Fungsi
B.
Menemukan
Konsep Fungsi Komposisi
C.
Sifat-sifat
Operasi Fungsi Komposisi.
.. Uji Kompetensi 3.1
D.
Fungsi
Invers
E.
Menentukan
Rumus Fungsi Invers
Uji Kompetensi 3.2
BAB III PENUTUP
A.
Kesimpulan
B.
Kesan
C.
Pesan
Daftar
Riwayat Hidup Penulis
BAB II PEMBAHASAN
A. Operasi
Aljabar Pada Fungsi
Pada
subbab ini, kita akan mempelajari operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian
dan pembagian pada fungsi). Perhatikan masalah berikut.Masalah-3.1
Seorang
photografer dapat menghasilkan gambar yang bagus melalui dua tahap, yaitu;
tahap pemotretan dan tahap editing. Biaya yang diperlukan pada tahap pemotretan
(B1) adalah Rp500,- per gambar, mengikuti fungsi: B1(g) = 500g + 2500 dan biaya
pada tahap editing (B2) adalah Rp100,- per gambar, mengikuti fungsi: B2(g) = 100g + 500, dengan g adalah banyak gambar yang dihasilkan.
a) Berapakah
total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar
dengan
kualitas yang bagus?
b) Tentukanlah
selisih antara biaya pada tahap pemotretan dengan biaya pada tahap editing untuk 5 gambar.
Alternatif Penyelesaian
Fungsi biaya
pemotretan: B1(g) = 500g + 2.500
Fungsi biaya editing:
B2(g) = 100g + 500
a) Untuk
menghasilkan gambar yang bagus, harus dilalui 2 tahap proses yaitu pemotretan
dan editing, sehingga fungsi biaya yang dihasilkan adalah:
B1(g)
+ B2(g) = (500g + 2.500) + (100g + 500) = 600g +
3.000
Total
biaya untuk menghasilkan 10 gambar (g = 10) adalah:
B1(g)
+ B2(g) = 600g + 3.000
B1(10)
+ B2(10) = (600 × 10) + 3.000 = 9.000
Jadi total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar
dengan kualitas yang bagus adalah Rp9.000,-
9
b) Selisih
biaya tahap pemotretan dengan tahap editing adalah:
B1(g)
– B2(g) = (500g + 2.500) – (100g + 500) = 400g +
2.000
Selisih biaya pemotretan dengan biaya editing untuk 5 gambar (g =
5) adalah:
B1(g)
– B2(g) = 400g + 2.000
B1(5)
– B2(5) = (400 × 5) + 2.000 = 4.000
Jadi selisih biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 5 gambar
dengan kualitas yang bagus adalah Rp4000,-
Perhatikan jumlah
biaya pada bagian (a) dan selisih biaya pada bagian (b).
B1(g)
= 500g + 2500 sehingga B1(5) = 5.000 dan B1(10) = 7.500.
B2(g)
= 100g + 500 sehingga B2(5) = 1.000 dan B2(10) = 1.500
BJ (g)
= B1(g) + B2(g) = 600g + 3000 sehingga BJ
(10) = 9.000 dan B1(10) + B2(10)
= 7.500 + 1.500 =
9.000
Demikian juga,
BS (g)
= B1(g) – B2(g) = 400g + 2000 sehingga BS
(5) = 4.000 dan B1(5) – B2(5)
= 5.000 – 1.000 =
4.000.
Definisi 3.1
Jika f suatu
fungsi dengan daerah asal Df dan g suatu fungsi dengan daerah
asal Dg , maka
pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian dinyatakan
sebagai berikut.
a) Jumlah
f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai ( f +
g )(x) = f (x) + g (x) dengan daerah
asal D D D f + f = _ g g.
b) Selisih
f dan g ditulis f – g didefinisikan sebagai ( f −g)(x)=
f (x)−g(x)dengan daerah asal D D D f − f =
_ g g.
c) Perkalian
f dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai ( f ×g)(x)=
f (x)×g (x)dengan daerah asal D D D f× f =
_ g g.
d)
Pembagian
f dan g ditulis
dengan daerah
asal D
B. Menemukan Konsep Fungsi Komposisi
Setelah
kita memahami operasi aljabar pada fungsi, maka pada subbab ini, kita akan
membicarakan fungsi komposisi dari suatu fungsi. Untuk mendapatkan konsep
fungsi komposisi, kamu pahami dan pelajarilah beberapa masalah kasus dan contoh-contoh
berikut.salah-3.2
Suatu
bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar Amerika (USD) ke Ringgit Malaysia
(MYR), yaitu; 1 USD = 3,28 MYR, dengan biaya penukaran sebesar 2 USD untuk
setiap transaksi penukaran. Kemudian salah satu bank di Malaysia menawarkan
harga tukar ringgit Malaysia (MYR) ke Rupiah Indonesia (IDR), yaitu; 1 MYR =
Rp3.169,54, dengan biaya penukaran
sebesar 3 MYR untuk
setiap transaksi penukaran. Seorang turis asal Amerika ingin bertamasya ke
Malaysia kemudian melanjutkannya ke Indonesia dengan membawa uang sebesar 2.000
USD. Berapa IDR akan diterima turis tersebut jika pertama dia menukarkan semua uangnya
ke mata uang Ringgit Malaysia di Amerika dan kemudian menukarnya ke Rupiah
Indonesia di Malaysia?
Alternatif Penyelesaian
Masalah ini dapat
diselesaikan dua tahap penukaran.
Langkah 1:
Uang sebesar 2.000
USD akan ditukar ke Ringgit Malaysia di Amerika dengan
biaya penukaran
sebesar 2 USD, maka jumlah uang yang diterima turis tersebut
adalah:
(2.000 – 2) × 3,28
MYR = 1.998 × 3,28 MYR = 6.553,44 MYR
Langkah 2:
Uang sebesar 6.553,44
MYR akan ditukar ke mata uang Rupiah Indonesia, dan
perlu di ingat bahwa
biaya penukaran sebesar 3 MYR. Uang yang diterima turis
tersebut adalah:
(6.553,44 – 3) × 3.169,54
= 6.550,44 × 3.169,54 = 20.761.881,60 IDR
Turis tersebut
menerima uang rupiah Indonesia sebesar 20.761.881,60 IDR.
Perhitungan kedua
transaksi di atas dapat kita buat model matematikanya ke
dalam dua fungsi
sebagai berikut.
Misalkan :
t =
jumlah uang dalam USD
x =
jumlah uang dalam MYR
y =
jumlah uang dalam IDR
Transaksi penukaran
pertama dapat kita tuliskan dengan
x =
3,28 (t – 2)
x =
3,28 t – 6,56
karena x merupakan
sebuah fungsi t, maka dapat ditulis:
x (t)
= 3,28 t – 6,56 …………………………………............................……. (1)
Untuk transaksi
penukaran kedua dapat ditulis sebagai berikut.
y =
3.169,54 (x – 3)
y =
3.169,54 x – 9.508,62
karena y fungsi
dari x, maka dapat ditulis
y (x)
= 3.169,54 x – 9.508,62 …………………………................…….……..(2)
Dengan mensubstitusi
persamaan 1 ke persamaan 2 kita peroleh:
y (x)
= y(x(t)), misal f (t) = y(x(t)),
maka
f (t)
= y(x(t))
= 3.169,54 (3,28 t
– 6,56) – 9.508,62
= 10.396,09 t –
20792.18 – 9.508,62
f (t)
= 10.396,09 t – 30.300,80
Fungsi f(t)
= y(x(t)) ini merupakan fungsi komposisi x dan y
dalam t yang dilambangkan
dengan (y ◦ x)(t)
dan didefinisikan dengan (y ◦ x)(t) = y(x(t)).
Maka fungsi komposisi
x dan y pada masalah di atas adalah
(y ◦ x) (t)
= 10.396,09 t – 30.300,80 ……………………………...........…….(3)
97
Dengan menggunakan
fungsi komposisi (y ◦ x)(t) seperti pada persamaan 3, maka dapat
kita hitung jumlah uang turis tersebut dalam mata uang rupiah Indonesia untuk t
= 2000 USD seperti berikut.
(y ◦ x)(t)
= 10.396,09 t – 30.300,80
= 10.396,09 × (2.000) – 30.300,80
= 20.792.180 – 30.300,80
= 20.761.881,60
Jumlah uang turis tersebut
dalam rupiah adalah Rp20.761.881,60 Perhatikan bahwa hasilnya sama dengan
langkah pertama yang kita lakukan.
Agar kamu lebih
memahami fungsi komposisi, perhatikanlah masalah berikut.
Masalah-3.3
Suatu
pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap
pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah
jadi, dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan kertas.
Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti
fungsi f(x) = 0,9x – 1 dan mesin II mengikuti
fungsi g(x) = 0,02x2 – 2,5x, dengan x merupakan banyak bahan dasar
kayu dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi
sebesar 200 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (kertas dalam satuan ton).
Alternatif Penyelesaian
Tahap-tahap produksi pabrik kertas tersebut dapat kita
gambarkan sebagai berikut.
Gambar
3.1. Tahapan Produksi Pabrik Kertas
Dari Gambar 3.1. di
atas, terlihat jelas bahwa tahap produksi kertas terdiri atas dua tahap. Hasil
produksi setiap tahap kita hitung sebagai berikut
Hasil produksi tahap
I Rumus fungsi pada produksi tahap I adalah: f(x) = 0,9x –
1 Untuk x = 200, diperoleh:
f (x) = 0,9x – 1
= 0,9(200) – 1
= 179
Maka hasil produksi
tahap I adalah 179 ton bahan kertas setengah jadi. Hasil produksi tahap II Rumus
fungsi pada produksi tahap II adalah: g(x) = 0,02x2 – 2,5x
Karena hasil produksi pada tahap I akan dilanjutkan pada produksi tahap II,
maka hasil produksi tahap I menjadi bahan dasar produksi tahap II, sehingga
diperoleh:
g(x) = 0,02x2 – 2,5x
=
0,02(200)2 – 2,5(200)
=
640,82 – 447,5
=
193,32
Dengan demikian hasil
produksi tahap II adalah 193,32 ton bahan jadi kertas.
Hasil produksi yang
dihasilkan pabrik kertas tersebut jika bahan dasar kayunya
sebanyak 200 ton
adalah 193,32 ton bahan jadi kertas.
Masalah 3.3 di atas
dapat kita selesaikan dengan menggunakan cara yang berbeda
sebagai berikut.
Diketahui
fungsi-fungsi produksi berikut.
f(x)
= 0,9x – 1.....................................................................................................(1)
g(x)
= 0,02x2 – 2,5x...........................................................................................(2)
dengan
mensubstitusikan pers. 1 ke persamaan 2, kita peroleh fungsi
g(f(x)) = 0,02(0,9x – 1)2 – 2,5(0,9x –
1)
=
0,02(0,81x2 – 1,8x+1) – 2,5(0,9x – 1)
=
0,0162 x2 – 0,036x + 0,02 – 2,25x + 2,5
=
0,0162 x2 – 2,286x + 2,52
Kita peroleh fungsi g(f(x))
= 0,0162 x2 – 2,286x + 2,52...................................(3)
Jika disubstitusikan nilai
x = 200 ke persamaan 3, kita peroleh:
g (f
(x)) = 0,0162 x2
– 2,286x + 2,52
= 0,0162 (200)2 – 2,286(200)
+ 2,52
= 648 – 457,2 + 2,52
= 193,32
Terlihat
bahwa hasil produksi sebesar 193,32 ton. Nilai ini sama hasilnya dengan hasil
produksi dengan menggunakan perhitungan cara pertama di atas.
Nilai
g(f(x)) merupakan nilai suatu fungsi yang disebut fungsi
komposisi f dan g dalam x yang dilambangkan dengan g ◦
f. Karena itu nilai g ◦ f di x ditentukan dengan (g
◦ f)(x) = g(f(x)).
Perhatikan Gambar 3.2 berikut.
Gambar 3.2. Fungsi
Komposisi
Berdasarkan Gambar
3.2 di atas dapat dikemukakan beberapa hal berikut.
1) Df = daerah
asal fungsi f; Rf= daerah hasil fungsi f; Dg =
daerah asal fungsi g; Rg
= daerah hasil fungsi
g; Dg ◦ f = daerah asal fungsi komposisi g ◦ f; = daerah
hasil
fungsi komposisi g
◦ f
2) Fungsi f memetakan
himpunan A ke himpunan B, ditulis f: A→B.
Setiap unsur x ∈ Df dipetakan ke y
∈ Rf
dengan fungsi y = f(x). Perhatikan Gambar
3.2(a).
3) Fungsi g memetakan
himpunan B ke himpunan C, ditulis g : B → C.
Setiap unsur y ∈ Dg dipetakan ke z
∈ Rg
dengan fungsi z = g(y). Perhatikan
Gambar 3.2(b).
4) Fungsi h memetakan
himpunan A ke himpunan C melalui himpunan B, ditulis: h:
A→C.
Setiap unsur x ∈ Dh
dipetakan ke z ∈ h
dengan fungsi z = h(x). Perhatikan
Gambar 3.2(c).
Berdasarkan beberapa
hal di atas kita peroleh definisi berikut.Definisi 3.2
Jika f dan g fungsi dan R D f g _
__ , maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan
bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi
komposisi f dan g (ditulis:
g ◦ f) yang ditentukan dengan
h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f(x))
daerah asal fungsi
komposisi f dan g adalah, Df g x Df f x D = {
_ ( )_ } g
dengan
Df = daerah asal (domain)
fungsi f; Dg = daerah asal (domain) fungsi g;
Rf = daerah hasil (range)
fungsi f; Rg = daerah hasil (range) fungsi g.
Pertanyaan
kritis!
Untuk fungsi
komposisi f dan g atau g ◦ f.
1.
Apa akibatnya jika R D g f _ =0 ? Mengapa?
2.
2) Bagaimana hubungan Dg○f dengan Df?
Apakah D D g f f Í ? Mengapa?
3.
Bagaimana hubungan dengan Rg? Apakah R R g f g ⊆ ? Mengapa? Untuk lebih
memahami konsep fungsi komposisi, perhatikanlah
contoh berikut.
Contoh 3.2
Diketahui fungsi f:
R→R dengan f(x) = 2x + 1 dan
fungsi g: R→R dengan
g(x)
= x2-1.
1) Apakah fungsi
komposisi (g ◦ f )(x) dan (f ◦ g)(x) terdefinisi?
2) Tentukan fungsi
komposisi (g ◦ f )(x) dan (f ◦ g)(x)!
Alternatif Penyelesaian
f(x)
= 2x + 1; g(x) = x2 -1
Df = { x
| x ∈ R}
= R; Rf = { y | y ∈ R} = R
Dg = { x
| x ∈ R}
= R; Rg = { y | y ∈ R} = R
1.
Untuk
menentukan apakah fungsi komposisi (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g)(x)
terdefinisi, diketahui berdasarkan:
Ø Jika Rf ∈
Dg ≠ Ø maka (g ◦ f)(x) terdefinisi. { y | y
∈R} Ç { x | x ∈
R} = RÇ R = R ≠ Ø, karena Rf Ç Dg ≠
Ø maka (g ◦ f)(x) terdefinisi.
Ø Jika Rg ∈
Df ≠ 0 maka (f ◦ g)(x) terdefinisi. { y | y ∈
R} Ç { x | x ∈ R} = R
Ç R = R ≠ Ø, karena Rg Ç Df ≠ Ø maka
(f ◦ g)(x) terdefinisi.
2.
Untuk
menentukan apakah fungsi komposisi (g ◦ f)(x) dan (f ◦ g)(x)
sebagai berikut:
Ø (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x
+ 1)
= (2x + 1)2 – 1
= (4x2 + 4x + 1) – 1
= 4x2 + 4x
Ø (f ◦ g)(x)
= f(g(x))
= f(x2 –1)
= 2(x2 –1) + 1
= 2x2 – 2 + 1
= 2x2 – 1
sehingga
diperoleh (g ◦ f)(x) = 4x2 + 4x dan (f ◦ g)(x)
= 2x2 – 1. Perhatikan kembali Contoh 3.2 di atas! Contoh tersebut
diberikan untuk menentukan fungsi komposisi jika fungsi-fungsi yang lain telah
diketahui. Berikut ini diberikan contoh bagaimana menentukan fungsi jika
diketahui fungsi komposisi dan suatu fungsi yang lain.
C. Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi
Lakukanlah pengamatan pada beberapa contoh soal berikut
untuk menentukan sifat-sifat operasi fungsi komposisi. Dari pengamatan yang
kamu lakukan, tariklah sebuah kesimpulan terkait sifat operasi fungsi
komposisi.
Contoh
3.4
Diketahui
fungsi f: R→R dengan f(x) = 4x
+ 3 dan fungsi g: R→R dengan
g(x) = x–1.
a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (g ◦ f )(x)
dan (f ◦ g)(x)
b) Selidiki apakah (g ◦ f )(x) = (f ◦ g)(x)!
Penyelesaian
a) Menentukan rumus fungsi komposisi (g ◦ f )(x)
dan (f ◦ g)(x)
* (g ◦ f)(x) = g(f(x))
= g(4x
+ 3)
= (4x
+ 3) –1
= 4x
+ 2
* (f ◦ g)(x) = f(g(x))
= f(x
– 1)
= 4(x
– 1) + 3
= 4x
– 4 + 3
= 4x
– 1
Dengan demikian (g ◦ f)(x) = 4x + 2
dan (f ◦ g)(x) = 4x – 1.
b) Selidiki apakah (g ◦ f )(x) = (f ◦ g)(x)!
Berdasarkan hasil perhitungan butir (a) di atas diperoleh
(g ◦ f)(x) = 4x + 2, dan
(f ◦ g)(x) = 4x – 1
Andaikan (g ◦ f )(x) = (f ◦ g)(x)
4x +
2 = 4x – 1
2 = –1
Ternyata
hasil yang diperoleh adalah kontradiksi dari pernyataan.
Jadi,
g ◦ f ≠ f ◦ g
Berdasarkan
Contoh 3.4 di atas, disimpulkan bahwa pada umumnya sifat komutatif pada operasi
fungsi komposisi tidak berlaku, yaitu; g ◦ f ≠ f ◦ g.
1) Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi
kertas melalui dua tahap. Tahap pertama dengan menggunakan mesin I yang menghasilkan
bahan kertas setengah jadi, dan tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang
menghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya mesin I menghasilkan bahan
setengah jadi dengan mengikuti fungsi f (x) = 0,7x + 10
dan pada mesin II terdapat bahan campuran lain sehingga mengikuti fungsi g (x)
= 0,02x2 + 12x, x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam
satuan ton.
a) Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi
sebesar 50 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (kertas dalam satuan ton).
b) Jika bahan setengah jadi untuk kertas yang dihasilkan
oleh mesin I sebesar 110 ton, berapa ton kah kayu yang sudah terpakai? Berapa
banyak kertas yang dihasilkan?
2) Diketahui fungsi f(x) =
. Tentukan
rumus fungsi berikut bila terdefinisi dan
tentukan daerah asal dan daerah hasilnya.
a) (f + g)(x)
b) (f – g)(x)
c) (f × g )(x)
3)
Misalkan f fungsi yang memenuhi untuk f
setiap x ≠ 0. Tentukanlah nilai f(2).
4) Diketahui fungsi f: R→R dengan
f(x) = x2 – 4x + 2 dan fungsi g: R→R
dengan g(x) = 3x – 7.
a) (g ◦ f )(x) c) (g ◦ f )(5)
b) (f ◦ g)(x) d) (f ◦ g)(10)
5) Jika f(xy) = f(x + y)
dan f(7) = 7. Tentukanlah nilai f(49)!
D. Fungsi Invers
Berikutnya, kita akan mempelajari balikan
dari fungsi yang disebut dengan fungsi invers. Dengan demikian, mari kita
memahami masalah berikut.
Masalah-3.4
Seorang
pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi
f(x) = 500x + 1.000, (dalam ribuan rupiah) x adalah banyak potong kain yang terjual.
a) Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong
kain, berapa keuntungan yang diperoleh?
b) Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00
berapa potong kain yang harus terjual?
c) Jika A merupakan daerah
asal (domain) fungsi f dan B merupakan daerah hasil (range)
fungsi f, gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas.
Alternatif Penyelesaian
Keuntungan
yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1000, untuk
setiap x potong kain yang terjual.
a) Penjualan 50 potong kain, berarti x =
50 dan nilai keuntungan yang diperoleh adalah:
f(x)=
500x + 1.000
untuk x = 50 berarti f(50) = (500 × 50) + 1.000
= 2.500
+ 1.000
= 3.600
Jadi keuntungan yang diperoleh dalam
penjualan 50 potong kain sebesar
Rp3.600.000,-
b) Agar keuntungan yang diperoleh sebesar
Rp100.000,-, maka banyak potong kain
yang harus terjual adalah:
f(x) = 500x + 1.000
100.000 =
500x + 1.000
500x
= 100.000 – 1.000
500x
= 99.000
X
= 99 000
500.
= 198
Jadi banyak potong kain yang harus terjual adalah 198
potong.
c) Jika A merupakan daerah asal fungsi
f dan B merupakan daerah hasil fungsi f, permasalahan
butir (a) dan butir (b) di atas digambarkan seperti berikut.
Gambar 3.3. Invers Fungsi
Berdasarkan
Gambar 3.3 di atas, dikemukakan beberapa hal sebagai berikut.
a. Gambar 3.3 (i) menunjukkan bahwa fungsi f memetakan
A ke B, ditulis: f: A→B.
b. (b) Gambar 3.3 (ii) menunjukkan bahwa f -1
memetakan B ke A, ditulis: f -1: B→A. f -1
merupakan invers fungsi f.
c. Gambar 3.3 (iii) menunjukkan bahwa untuk nilai x =
50 maka akan dicari nilai f(x).
d. Gambar 3.3 (iv) menunjukkan kebalikan dari Gambar 3.3
(iii) yaitu mencari nilai x jika diketahui nilai f(x) =
100.000.
Untuk lebih memahami konsep invers suatu fungsi,
perhatikan kembali Gambar 3.4 berikut. Berdasarkan Gambar 3.4 di samping,
diketahui
beberapa
hal sebagai berikut. Pertama, fungsi f memetakan x ∈ A ke y ∈ B.
Ingat kembali pelajaran Kelas X tentang menyatakan fungsi ke
dalam bentuk
pasangan
berurutan. Jika fungsi f dinyatakan ke dalam bentuk pasangan berurutan,
maka dapat ditulis sebagai berikut.
f = {(x, y)
| x ∈ A dan
y ∈ B}.
Pasangan berurut (x , y) merupakan unsur dari fungsi f. Kedua,
invers fungsi f atau f -1 memetakan y ∈ B ke x ∈ A. Jika invers fungsi f dinyatakan
ke dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis f -1 = {(y , x)
| y ∈ B dan
x ∈ A}.
Pasangan berurut (y, x) merupakan unsur dari invers fungsi f.
Berdasarkan uraian-uraian di atas, diberikan definisi invers suatu fungsi.
Menentukan Rumus Fungsi Invers
Masalah-3.6
Salah
satu sumber penghasilan yang diperoleh klub sepak bola adalah hasil penjualan
tiket penonton jika timnya sedang bertanding. Besar dana yang diperoleh
bergantung pada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut.
Suatu klub memberikan informasi bahwa besar pendapatan yang diperoleh klub dari
penjualan tiket penonton mengikuti fungsi f(x) = 50.000x + 20.000,
dengan x merupakan banyak penonton yang menyaksikan pertandingan.
a. Tentukanlah invers fungsi pendapatan dari tiket penonton
klub sepak bola tersebut.
b) Jika dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil
penjualan tiket penonton sebesar Rp55.570.000,-. Berapa penonton yang
menyaksikan pertandingan tersebut?
Alternatif Penyelesaian
Diketahui
bahwa fungsi pendapatan klub sepak bola tersebut adalah f(x) = 50.000x
+ 20.000
a. Invers fungsi pendapatan dari tiket penonton klub sepak
bola Untuk menentukan rumus fungsi invers f(x) dilakukan sebagai
berikut.
y = f(x) = 50.000x + 20.000
y = 50.000x + 20.000
50.000x
= y - 20.000
Karena x
= f -1(y) maka
Karena
Jadi,
fungsi invers dari f(x) = 50.000x + 20.000 adalah
b) Jika dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp
55.570.000, maka banyak penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut adalah
Jadi, penonton yang menyaksikan pertandingan
itu sebanyak 1111 orang. Berdasarkan alternatif penyelesaian Masalah 3.6 di
atas.
Uji Kompetensi 3.2
1
Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan
dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x)
rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) =
100x + 500, x merupakan banyak potong kain yang terjual.
a. Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 100
potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh?
b) Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp500.000,00
berapa potong kain yang harus terjual?
c) Jika A merupakan himpunan daerah asal (domain)
fungsi f(x) dan B merupakan himpunan daerah hasil (range)
fungsi f(x), gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir
(b) di atas.
2
Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi
berikut jika ada.
a) f(x) = 2x2 + 5
b) g(x) =2 1
c) h(x) = 3 x + 2
3. Diketahui f dan g suatu fungsi dengan rumus
fungsi f(x) = 3x+ 4 dan g(x) =
Buktikanlah bahwa f -1(x) = g(x)
dan g-1(x) = f(x).
4. Diketahui fungsi f: R→R dengan
rumus fungsi f(x) = x2 – 4. Tentukanlah daerah asal fungsi
f agar fungsi f memiliki invers dan tentukan pula rumus fungsi inversnya
untuk daerah asal yang memenuhi!
5. Untuk mengubah satuan suhu dalam derajat Celcius (0C)
ke satuan suhu dalam derajat Fahrenheit (0F) ditentukan dengan rumus F
=
a) Tentukanlah rumus untuk mengubah satuan derajat
Fahrenheit (0F) ke satuan suhu dalam derajat Celcius (0C).
b) Jika seorang anak memiliki suhu badan 860F,
tentukanlah suhu badan anak itu jika diukur menggunakan satuan derajat Celcius!
BAB III PENUTUP
B. Kesimpulan
Berdasarkan uraian materi pada Bab 3
ini, beberapa kesimpulan yang dapat dinyatakan sebagai pengetahuan awal untuk
mendalami dan melanjutkan bahasan berikutnya. Beberapa kesimpulan disajikan
sebagai berikut.
1.
Jika f suatu fungsi dengan daerah asal Df dan g suatu
fungsi dengan daerah asal Dg, maka pada operasi aljabar penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut. (1) Jumlah f
dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)(x)
= f(x) + g(x) dengan daerah asal Df+g =
Df ∩Dg. (2) Selisih f dan g ditulis f – g
didefinisikan sebagai (f – g)(x) = f(x) –
g(x) dengan daerah asal Df-g = Df ∩Dg. (3)
Perkalian f dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai (f
× g)(x) = f(x) × g(x) dengan daerah asal
Df×g = Df ∩Dg. (4) Pembagian f dan g ditulis
f didefinisikan sebagai
Dengan daerah
asal Df g = Df ∩Dg – {x| g(x)
= 0}.
A.
Kesan
Kesan
dan pengalaman yang penulis dapatkan selama mengikuti pelajaran Fungsi komposisi dan invers ini
kita gak harus hafal rumus-rumusnya yang terpenting adalah meneliti
pelajaranya.
B.
Saran
Pesan
atau sebuah masukan yang saya ingin sampaikan semoga pelajaran fungsi komposisi dan invers ini
bermanfa’at bagi siswa-siswi kelas XI ini supaya mentela’ah pelajaran ini
Daftar
Pustaka
Nuh,muhammad.2014.MATEMATIKA.pusat kurikulum dan perbukuan:JAKARTA
http://www.academia.edu/6838521/BAB_I_PENDAHULUAN_1._LATAR_BELAKANG_MASALAH
Daftar
riwayat hidup
Alamat : pelangwot laren lamongan
Hobby : sepak bola,
kite,dan mancing
Cita-Cita : sukses dunia
akhirat
Pendidikan :
I. TK PKK PELANGWOT laren lamongan (2001)
II. SD NEGERI 1 PELANGWOT laren lamongan
(2010)
III. SMP BILINGUAL DARUL JANNAH AL-MA’WA
tunggul paciran lamongan (2013)
Facebook : Sajiwo Doank
Edmodo : Sajiwo D,
Twitter : Sajiwo D,
Blogger :
bagus-sa.blogspot.com
Emai : Bagus sajiwo
